Calcolo Esempi

$2 \sin (x) + \sin (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 1.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \cos (x) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 3.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (2 \cdot \cos (2 x))$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f''' (x) = - 2 \cos (x) - 8 \cos (2 x)$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 \cos (x) - 8 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Passaggio 4.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \sin (x) - 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$2 \sin (x) - 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $- 2$ per $- 8$ .

$f^{4} (x) = 2 \sin (x) + 16 \sin (2 x)$