Calcolo Esempi

$\int (x - 1) \sqrt{x} d x$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2

Espandi $(x - 1) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.6

Somma $2$ e $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$