Calcolo Esempi

$y = {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = 8 x^{3} + 7$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x^{3} + 7$ .

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{3}{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Passaggio 6

$\frac{3}{2}$ e ${(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{3} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 8

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 10

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 11

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (24 x^{2} + 0)$

Passaggio 12

Semplifica i termini.

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Passaggio 12.1

Somma $24 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (24 x^{2})$

Passaggio 12.2

$24$ e $\frac{3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{24 (3 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x^{2}$

Passaggio 12.3

Moltiplica $3$ per $24$ .

$\frac{72 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} x^{2}$

Passaggio 12.4

$\frac{72 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{72 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$

Passaggio 12.5

Scomponi $2$ da $72 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$\frac{2 (36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Passaggio 13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 13.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}$

Passaggio 13.4

Dividi $36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ per $1$ .

$36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Passaggio 14

Riordina i fattori di $36 {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$36 x^{2} {(8 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$