Calcolo Esempi

$(10 - x) y^{2} = x^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ((10 - x) y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 10 - x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$(10 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$(10 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(10 - x) (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$(10 - x) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Passaggio 2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $10 - x$ .

$2 \cdot (10 - x) y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.6

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.7

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} \cdot - 1$

Passaggio 2.10.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$2 (10 - x) y y' - 1 \cdot y^{2}$

Passaggio 2.10.3

Riscrivi $- 1 y^{2}$ come $- y^{2}$ .

$2 (10 - x) y y' - y^{2}$

Passaggio 2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 \cdot 10 + 2 (- x)) y y' - y^{2}$

Passaggio 2.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2 \cdot 10 y + 2 (- x) y) y' - y^{2}$

Passaggio 2.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 10 y y' + 2 (- x) y y' - y^{2}$

Passaggio 2.11.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.4.1

Moltiplica $2$ per $10$ .

$20 y y' + 2 (- x) y y' - y^{2}$

Passaggio 2.11.4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$20 y y' - 2 x y y' - y^{2}$

Passaggio 2.11.5

Riordina i termini.

$- y^{2} + 20 y y' - 2 x y y'$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- y^{2} + 20 y y' - 2 x y y' = 3 x^{2}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$20 y y' - 2 x y y' = 3 x^{2} + y^{2}$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 y y'$ da $20 y y' - 2 x y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 y y'$ da $20 y y'$ .

$2 y y' \cdot 10 - 2 x y y' = 3 x^{2} + y^{2}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $2 y y'$ da $- 2 x y y'$ .

$2 y y' \cdot 10 + 2 y y' (- x) = 3 x^{2} + y^{2}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' \cdot 10 + 2 y y' (- x)$ .

$2 y y' (10 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 y (10 - x)$ ciascun termine in $2 y y' (10 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 y (10 - x)$ ciascun termine in $2 y y' (10 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{2 y y' (10 - x)}{2 y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y' (10 - x)}{2 y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (10 - x)}{y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (10 - x)}{y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (10 - x)}{10 - x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $10 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (10 - x)}{10 - x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y \cdot y}{2 y (10 - x)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $y$ da $2 y (10 - x)$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y \cdot y}{y (2 (10 - x))}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y \cdot y}{y (2 (10 - x))}$

Passaggio 5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y}{2 (10 - x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y}{2 (10 - x)}$