Calcolo Esempi

$x^{2} y^{3} - 2 x y^{2} = 5$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3} - 2 x y^{2}) = \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y^{3} - 2 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (2 x y y' + y^{2})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (2 x y y') - 2 y^{2}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 4 x y y' - 2 y^{2}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$- 2 y^{2} + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 4 x y y'$

Passaggio 3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 2 y^{2} + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 4 x y y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Somma $2 y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 4 x y y' = 2 y^{2}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $2 y^{3} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} y^{2} y' - 4 x y y' = 2 y^{2} - 2 y^{3} x$

Passaggio 5.2

Scomponi $x y y'$ da $3 x^{2} y^{2} y' - 4 x y y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x y y'$ da $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$x y y' (3 x y) - 4 x y y' = 2 y^{2} - 2 y^{3} x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x y y'$ da $- 4 x y y'$ .

$x y y' (3 x y) + x y y' \cdot - 4 = 2 y^{2} - 2 y^{3} x$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x y y'$ da $x y y' (3 x y) + x y y' \cdot - 4$ .

$x y y' (3 x y - 4) = 2 y^{2} - 2 y^{3} x$

Passaggio 5.3

Dividi per $x y (3 x y - 4)$ ciascun termine in $x y y' (3 x y - 4) = 2 y^{2} - 2 y^{3} x$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $x y (3 x y - 4)$ ciascun termine in $x y y' (3 x y - 4) = 2 y^{2} - 2 y^{3} x$ .

$\frac{x y y' (3 x y - 4)}{x y (3 x y - 4)} = \frac{2 y^{2}}{x y (3 x y - 4)} + \frac{- 2 y^{3} x}{x y (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y y' (3 x y - 4)}{x y (3 x y - 4)} = \frac{2 y^{2}}{x y (3 x y - 4)} + \frac{- 2 y^{3} x}{x y (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (3 x y - 4)}{y (3 x y - 4)} = \frac{2 y^{2}}{x y (3 x y - 4)} + \frac{- 2 y^{3} x}{x y (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (3 x y - 4)}{y (3 x y - 4)} = \frac{2 y^{2}}{x y (3 x y - 4)} + \frac{- 2 y^{3} x}{x y (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (3 x y - 4)}{3 x y - 4} = \frac{2 y^{2}}{x y (3 x y - 4)} + \frac{- 2 y^{3} x}{x y (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $3 x y - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 x y - 4)}{3 x y - 4} = \frac{2 y^{2}}{x y (3 x y - 4)} + \frac{- 2 y^{3} x}{x y (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2}}{x y (3 x y - 4)} + \frac{- 2 y^{3} x}{x y (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $y$ da $2 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (2 y)}{x y (3 x y - 4)} + \frac{- 2 y^{3} x}{x y (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Scomponi $y$ da $x y (3 x y - 4)$ .

$y' = \frac{y (2 y)}{y (x (3 x y - 4))} + \frac{- 2 y^{3} x}{x y (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y (2 y)}{y (x (3 x y - 4))} + \frac{- 2 y^{3} x}{x y (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 y}{x (3 x y - 4)} + \frac{- 2 y^{3} x}{x y (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $y$ da $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{2 y}{x (3 x y - 4)} + \frac{y (- 2 y^{2} x)}{x y (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.2.1

Scomponi $y$ da $x y (3 x y - 4)$ .

$y' = \frac{2 y}{x (3 x y - 4)} + \frac{y (- 2 y^{2} x)}{y (x (3 x y - 4))}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 y}{x (3 x y - 4)} + \frac{y (- 2 y^{2} x)}{y (x (3 x y - 4))}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 y}{x (3 x y - 4)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 y}{x (3 x y - 4)} + \frac{- 2 y^{2} x}{x (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 y}{x (3 x y - 4)} + \frac{- 2 y^{2}}{3 x y - 4}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 y}{x (3 x y - 4)} - \frac{2 y^{2}}{3 x y - 4}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{2 y^{2}}{3 x y - 4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{2 y}{x (3 x y - 4)} - \frac{2 y^{2}}{3 x y - 4} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (3 x y - 4)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{2 y^{2}}{3 x y - 4}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{2 y}{x (3 x y - 4)} - \frac{2 y^{2} x}{(3 x y - 4) x}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(3 x y - 4) x$ .

$y' = \frac{2 y}{x (3 x y - 4)} - \frac{2 y^{2} x}{x (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 y - 2 y^{2} x}{x (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $2 y$ da $2 y - 2 y^{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Scomponi $2 y$ da $2 y$ .

$y' = \frac{2 y (1) - 2 y^{2} x}{x (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Scomponi $2 y$ da $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 y (1) + 2 y (- y x)}{x (3 x y - 4)}$

Passaggio 5.3.3.5.3

Scomponi $2 y$ da $2 y (1) + 2 y (- y x)$ .

$y' = \frac{2 y (1 - y x)}{x (3 x y - 4)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y (1 - y x)}{x (3 x y - 4)}$