Calcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{\infty} - 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ e ${(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ da ${(- \frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi ${(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$ per $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Somma $n$ e $0$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n - (n - 1)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n - n - - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{n - n + 1}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $n$ da $n$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.6

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$r = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Passaggio 4

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 4.1

Sostituisci $n$ con $1$ in $- 4 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

$a = - 4 {(- \frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = - 4 {(- \frac{1}{2})}^{0}$

Passaggio 4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$a = - 4 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0})$

Passaggio 4.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$a = - 4 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Passaggio 4.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = - 4 (1 \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ per $1$ .

$a = - 4 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Passaggio 4.2.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = - 4 \frac{1}{2^{0}}$

Passaggio 4.2.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

Passaggio 4.2.7

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 4.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

Passaggio 4.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$a = - 4 \cdot 1$

Passaggio 4.2.8

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$a = - 4$

Passaggio 5

Sostituisci i valori del rapporto e del primo termine nella formula della somma.

$\frac{- 4}{1 - - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1.1

Moltiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 6.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 4}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 6.1.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{- 4}{1 + \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- 4}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 4}{\frac{2 + 1}{2}}$

Passaggio 6.1.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- 4}{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- 4 (\frac{2}{3})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 4 (\frac{2}{3})$ .

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Passaggio 6.3.1

$- 4$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{3}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{- 8}{3}$

Passaggio 6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{8}{3}$

Forma decimale:

$- 2.\overline{6}$

Forma numero misto:

$- 2 \frac{2}{3}$