Calcolo Esempi

$s = {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} ({(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 2

La derivata di $s$ rispetto a $t$ è $s'$ .

$s'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ e $g (t) = 11 t - t^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $11 t - t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $11 t - t^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Passaggio 3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Passaggio 3.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Passaggio 3.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Passaggio 3.6.2

$\frac{2}{3}$ e ${(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Passaggio 3.6.3

Sposta ${(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $11 t - t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [11 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [11 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Passaggio 3.8

Poiché $11$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $11 t$ rispetto a $t$ è $11 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Passaggio 3.10

Moltiplica $11$ per $1$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Passaggio 3.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 3.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - (2 t))$

Passaggio 3.13

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - 2 t)$

Passaggio 3.14

Semplifica.

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Passaggio 3.14.1

Riordina i fattori di $\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - 2 t)$ .

$(11 - 2 t) \frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3.14.2

Moltiplica $11 - 2 t$ per $\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(11 - 2 t) \cdot 2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3.14.3

Sposta $2$ alla sinistra di $11 - 2 t$ .

$\frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$s' = \frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5

Sostituisci $s'$ con $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$