Calcolo Esempi

$x^{2} y^{2} - x y = 8$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y^{2} - x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y' + y)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - (x y') - y$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - x y' - y$

Passaggio 3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - x y' - y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 y^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y y' - x y' - y = - 2 y^{2} x$

Passaggio 5.1.2

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y y' - x y' = - 2 y^{2} x + y$

Passaggio 5.2

Scomponi $x y'$ da $2 x^{2} y y' - x y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x y'$ da $2 x^{2} y y'$ .

$x y' (2 x y) - x y' = - 2 y^{2} x + y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x y'$ da $- x y'$ .

$x y' (2 x y) + x y' \cdot - 1 = - 2 y^{2} x + y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x y'$ da $x y' (2 x y) + x y' \cdot - 1$ .

$x y' (2 x y - 1) = - 2 y^{2} x + y$

Passaggio 5.3

Dividi per $x (2 x y - 1)$ ciascun termine in $x y' (2 x y - 1) = - 2 y^{2} x + y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $x (2 x y - 1)$ ciascun termine in $x y' (2 x y - 1) = - 2 y^{2} x + y$ .

$\frac{x y' (2 x y - 1)}{x (2 x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (2 x y - 1)}{x (2 x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (2 x y - 1)}{2 x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2 x y - 1$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 x y - 1)}{2 x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 2 y^{2}}{2 x y - 1} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y^{2}}{2 x y - 1} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{2 y^{2}}{2 x y - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{2}}{2 x y - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(2 x y - 1) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{2 y^{2}}{2 x y - 1}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{(2 x y - 1) x} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(2 x y - 1) x$ .

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{x (2 x y - 1)} + \frac{y}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x + y}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $y$ da $- 2 y^{2} x + y$ .

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Passaggio 5.3.3.5.1

Scomponi $y$ da $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y x) + y}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y x) + y^{1}}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.5.3

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y' = \frac{y (- 2 y x) + y \cdot 1}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.5.4

Scomponi $y$ da $y (- 2 y x) + y \cdot 1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y x + 1)}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.6

Elimina il fattore comune di $- 2 y x + 1$ e $2 x y - 1$ .

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Passaggio 5.3.3.6.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- (2 y x) + 1)}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y x) - 1 (- 1))}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 y x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y x - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.6.4

Riscrivi $- (2 y x - 1)$ come $- 1 (2 y x - 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 y x - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.6.5

Riordina i termini.

$y' = \frac{y (- 1 (2 x y - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.6.6

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y (- 1 (2 x y - 1))}{x (2 x y - 1)}$

Passaggio 5.3.3.6.7

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Passaggio 5.3.3.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.7.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Passaggio 5.3.3.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$