Calcolo Esempi

$\sqrt{x + y} = 1 + x^{2} y^{2}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + y}$ come ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 1 + x^{2} y^{2}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1 + x^{2} y^{2})$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.6.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.6.3

Sposta ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.9

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$

Passaggio 3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $1 + y'$ per $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$0 + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$0 + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$0 + x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x)$

Passaggio 4.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$0 + 2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Passaggio 4.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$0 + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Passaggio 6

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica ogni lato per $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Semplifica $\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.1.1.4

Riordina $1$ e $y'$ .

$y' + 1 = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $(2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' + 1 = 2 x^{2} y y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + 2 y^{2} x (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y' + 1 = 4 x^{2} y y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y^{2} x (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y' + 1 = 4 x^{2} y y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2.1.2.3

Sposta $y$ .

$y' + 1 = 4 x^{2} y' y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2.1.2.4

Sposta $x^{2}$ .

$y' + 1 = 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2.1.2.5

Sposta $y^{2}$ .

$y' + 1 = 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sottrai $4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' + 1 - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Passaggio 6.3.3

Scomponi $y'$ da $y' - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Passaggio 6.3.3.2

Scomponi $y'$ da $- 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Passaggio 6.3.3.3

Scomponi $y'$ da $y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Passaggio 6.3.4

Dividi per $1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Dividi per $1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.3.4.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$