Calcolo Esempi

$f (x) = - 3 x \sqrt{x + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$- 3 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 (x (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.3

Sposta ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 12.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12.2

Moltiplica $\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Passaggio 14

Moltiplica ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 15

Per scrivere ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 16

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18

Moltiplica ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 18.1

Sposta ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.4

Somma $1$ e $1$ .

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5

Dividi $2$ per $2$ .

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 19.1

Semplifica ${(x + 1)}^{1} \cdot 2$ .

$- 3 \frac{x + (x + 1) \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 1$ .

$- 3 \frac{x + 2 \cdot (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20

$- 3$ e $\frac{x + 2 (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 (x + 2 (x + 1))}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 (x + 2 (x + 1))}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22

Semplifica.

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Passaggio 22.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 (x + 2 x + 2 \cdot 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 x + 3 (2 x) + 3 (2 \cdot 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 22.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 22.3.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{3 x + 6 x + 3 (2 \cdot 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3.1.2

Moltiplica $3 (2 \cdot 1)$ .

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Passaggio 22.3.1.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{3 x + 6 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3.1.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{3 x + 6 x + 6}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3.2

Somma $3 x$ e $6 x$ .

$- \frac{9 x + 6}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4

Scomponi $3$ da $9 x + 6$ .

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Passaggio 22.4.1

Scomponi $3$ da $9 x$ .

$- \frac{3 (3 x) + 6}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$- \frac{3 (3 x) + 3 (2)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.3

Scomponi $3$ da $3 (3 x) + 3 (2)$ .

$- \frac{3 (3 x + 2)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$