Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 - x^{2}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}] - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- (2 x)) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - 2 (1 - x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- 2 x) + x^{2} (- 2 x) - 2 (1 - x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- 2 x) + x^{2} (- 2 x) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- x^{2})) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- 2 x) + x^{2} (- 2 x) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $- 2 x$ per $1$ .

$\frac{- 2 x + x^{2} (- 2 x) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 2 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.4.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- (x \cdot x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.4.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- (x^{1} x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- x^{1 + 2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- x^{3})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x + 2 x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Combina i termini opposti in $- 2 x - 2 x^{3} - 2 x + 2 x^{3}$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Somma $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x - 2 x + 0}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $- 2 x - 2 x$ e $0$ .

$\frac{- 2 x - 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$