Calcolo Esempi

$y = \frac{5}{{(2 x)}^{3}} + 2 \cos (x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5}{{(2 x)}^{3}} + 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}]$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 (x))}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.2

Applica la regola del prodotto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{2^{3} x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.4

Poiché $\frac{5}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{8 x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$\frac{5}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{5}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$\frac{5}{8} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{5}{8} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.8

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.8.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{8} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{5}{8} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.9

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{5}{8} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.10

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.10.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{5}{8} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.10.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5}{8} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.10.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$\frac{5}{8} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.11

$- 3$ e $\frac{5}{8}$ .

$\frac{- 3 \cdot 5}{8} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.12

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$\frac{- 15}{8} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.13

$\frac{- 15}{8}$ e $x^{- 4}$ .

$\frac{- 15 x^{- 4}}{8} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.14

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 15}{8 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{15}{8 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{15}{8 x^{4}} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \frac{15}{8 x^{4}} + 2 (- \sin (x))$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{15}{8 x^{4}} - 2 \sin (x)$