Calcolo Esempi

$y = \ln ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = x^{4} + 5 x^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{4} + 5 x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{4} + 5 x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Passaggio 7

$\frac{3}{2}$ e ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Passaggio 8

Moltiplica $\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ per $\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Passaggio 9

Sposta ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Passaggio 10

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 10.1

Moltiplica ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ per ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.1.1

Sposta ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Passaggio 10.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Passaggio 10.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{- 1 + 3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Passaggio 10.1.4

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Passaggio 10.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Passaggio 10.2

Semplifica $2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Passaggio 11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Passaggio 13

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 (2 x))$

Passaggio 15

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3}{2 x^{4} + 2 (5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

Passaggio 16.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$

Passaggio 16.3

Riordina i fattori di $\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}}$

Passaggio 16.4

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{4} + 10 x^{2}$ .

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Passaggio 16.4.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{4}$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 10 x^{2}}$

Passaggio 16.4.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $10 x^{2}$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)}$

Passaggio 16.4.3

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Passaggio 16.5

Moltiplica $4 x^{3} + 10 x$ per $\frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$ .

$\frac{(4 x^{3} + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Passaggio 16.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 16.6.1

Scomponi $2 x$ da $4 x^{3} + 10 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.6.1.1

Scomponi $2 x$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Passaggio 16.6.1.2

Scomponi $2 x$ da $10 x$ .

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Passaggio 16.6.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)$ .

$\frac{2 x (2 x^{2} + 5) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Passaggio 16.6.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x (2 x^{2} + 5)}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Passaggio 16.7

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.1

Scomponi $2$ da $6 x (2 x^{2} + 5)$ .

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Passaggio 16.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} (x^{2} + 5)$ .

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

Passaggio 16.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

Passaggio 16.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x (2 x^{2} + 5)}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

Passaggio 16.8

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.8.1

Scomponi $x$ da $3 x (2 x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

Passaggio 16.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.8.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

Passaggio 16.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

Passaggio 16.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (2 x^{2} + 5)}{x (x^{2} + 5)}$