Calcolo Esempi

$y = \ln (\frac{x}{1 + x^{2}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{1 + x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$1 \frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{1 + x^{2}}{x}$ per $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $1 + x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 10

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{1 + x^{2}}{x}$ per $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{x {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 12.1

Scomponi $1 + x^{2}$ da $x {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

Passaggio 12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - x^{2}}{x (1 + x^{2})}$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 - x^{2}}{x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}$

Passaggio 13.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 13.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x + x \cdot x^{2}}$

Passaggio 13.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 13.2.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 13.2.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1} x^{2}}$

Passaggio 13.2.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1 + 2}}$

Passaggio 13.2.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{3}}$

Passaggio 13.3

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} + 1}{x^{3} + x}$