Calcolo Esempi

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = y - 3$ e $g (y) = y^{2} - 3 y + 9$ .

$\frac{(y^{2} - 3 y + 9) \frac{d}{d y} [y - 3] - (y - 3) \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y + 9]}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{(y^{2} - 3 y + 9) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]) - (y - 3) \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y + 9]}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + \frac{d}{d y} [- 3]) - (y - 3) \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y + 9]}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + 0) - (y - 3) \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y + 9]}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(y^{2} - 3 y + 9) \cdot 1 - (y - 3) \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y + 9]}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $y^{2} - 3 y + 9$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y + 9]}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - 3 y + 9$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [9])}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [9])}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3 y$ rispetto a $y$ è $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9])}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9])}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + \frac{d}{d y} [9])}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Poiché $9$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $9$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + 0)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Somma $2 y - 3$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y - - 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Espandi $(- y + 3) (2 y - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y - 3) + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.6

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.2

Somma $3 y$ e $6 y$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Combina i termini opposti in $y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y + 0}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $2 y^{2}$ da $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - 3 y + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Somma $- 3 y$ e $9 y$ .

$\frac{- y^{2} + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Scomponi $y$ da $- y^{2} + 6 y$ .

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $6 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 6}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $y$ da $y (- y) + y \cdot 6$ .

$\frac{y (- y + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Scomponi $- 1$ da $- (y) - 1 (- 6)$ .

$\frac{y (- (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Riscrivi $- (y - 6)$ come $- 1 (y - 6)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$