Calcolo Esempi

$\frac{s}{1 + s^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ è $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ dove $f (s) = s$ e $g (s) = 1 + s^{2}$ .

$\frac{(1 + s^{2}) \frac{d}{d s} [s] - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 + s^{2}) \cdot 1 - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $1 + s^{2}$ per $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + s^{2}$ rispetto a $s$ è $\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [s^{2}]$ .

$\frac{1 + s^{2} - s (\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [s^{2}])}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $1$ rispetto a $s$ è $0$ .

$\frac{1 + s^{2} - s (0 + \frac{d}{d s} [s^{2}])}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d s} [s^{2}]$ .

$\frac{1 + s^{2} - s \frac{d}{d s} [s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1 + s^{2} - s (2 s)}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 s \cdot s}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Eleva $s$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 (s^{1} s)}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Passaggio 4

Eleva $s$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 (s^{1} s^{1})}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 + s^{2} - 2 s^{1 + 1}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Passaggio 6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 + s^{2} - 2 s^{2}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Passaggio 7

Sottrai $2 s^{2}$ da $s^{2}$ .

$\frac{1 - s^{2}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

Passaggio 8

Riordina i termini.

$\frac{- s^{2} + 1}{{(s^{2} + 1)}^{2}}$