Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5}{x^{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5] - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5] - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5] - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{4}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{x^{3} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.6

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{3}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.8

Moltiplica $3$ per $7$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.9

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.12

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.14

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.15

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 + 0) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.16

Somma $16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4$ e $0$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 2.17

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 2.18

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 2.18.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)$ .

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 2.18.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)) + x^{2} (- 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{6}}$

Passaggio 2.18.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)) + x^{2} (- 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))$ .

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{6}}$

Passaggio 3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5)}{x^{4}}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (16 x^{3}) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5)}{x^{4}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (16 x^{3}) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{16 x \cdot x^{3} + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{16 (x^{3} x) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{16 (x^{3} x^{1}) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{16 x^{3 + 1} + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.2.3

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{16 x^{4} + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{16 x^{4} + 21 x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 (x^{2} x) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 (x^{2} x^{1}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{2 + 1} + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x \cdot x + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.1

Sposta $x$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 (x \cdot x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.7

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 \cdot x - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.8

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.9

Moltiplica $7$ per $- 3$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.10

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.11

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.1.12

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.2

Combina i termini opposti in $16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x - 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $21 x^{3}$ da $21 x^{3}$ .

$\frac{16 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} + 0 + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $16 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{16 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $12 x^{4}$ da $16 x^{4}$ .

$\frac{4 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.4

Somma $- 6 x^{2}$ e $9 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{4} + 3 x^{2} - 4 x + 12 x - 15}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.5

Somma $- 4 x$ e $12 x$ .

$\frac{4 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x - 15}{x^{4}}$