Calcolo Esempi

$x^{2} \arctan (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \arctan (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$x^{2} \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x)$

Passaggio 4

Per scrivere $\arctan (x) (2 x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (2 x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + \arctan (x) (2 x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + \arctan (x) (2 x) \cdot 1 + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x \cdot 1 + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.1.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 (x^{2} x))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 (x^{2} x^{1}))}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x^{2 + 1})}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x^{3})}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + 2 \arctan (x) x^{3}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Riordina i fattori in $x^{2} + 2 \arctan (x) x + 2 \arctan (x) x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x \arctan (x) + 2 x^{3} \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$\frac{x^{2} + 2 x \arctan (x) + 2 x^{3} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$