Calcolo Esempi

$x^{2} \ln (5 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (5 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{5 x}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $5 x$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 5} \frac{d}{d x} [5 x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 5} \frac{d}{d x} [5 x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{5} \frac{d}{d x} [5 x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{5} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.4.1

$5$ e $\frac{x}{5}$ .

$\frac{5 x}{5} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x + \ln (5 x) (2 x)$

Passaggio 3.8

Riordina i termini.

$2 x \ln (5 x) + x$