Calcolo Esempi

$y = (9 \sqrt{x} + 8) x^{2}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ e $g (x) = x^{2}$ .

$(9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(9 x^{\frac{1}{2}} + 8) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Passaggio 3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$2 \cdot (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 3.4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 8.3

$9$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 8.4

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 9

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Passaggio 10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 10.1

Somma $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + x^{2} \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2

$x^{2}$ e $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{x^{2} \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.3.1

Sposta $9$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.3.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Passaggio 11.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2}$

Passaggio 11.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 11.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Passaggio 11.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Passaggio 11.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2}$

Passaggio 11.6.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 12

Combina $2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) x$ e $\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ utilizzando un comune denominatore.

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Passaggio 12.1

Sposta $9 x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 12.2

Per scrivere $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 12.3

$2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \cdot 2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 12.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) \cdot 2 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 13

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 8) + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x (9 x^{\frac{1}{2}}) + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 14.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 14.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 14.2.1.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x) + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.1.2.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + 1} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.1.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.1.2.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{4 \cdot 9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.1.3

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\frac{36 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 8 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.1.4

Moltiplica $8$ per $4$ .

$\frac{36 x^{\frac{3}{2}} + 32 x + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.2

Somma $36 x^{\frac{3}{2}}$ e $9 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{32 x + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 14.3

Scomponi $x$ da $32 x + 45 x^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 14.3.1

Scomponi $x$ da $32 x$ .

$\frac{x \cdot 32 + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 14.3.2

Scomponi $x$ da $45 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 32 + x (45 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 14.3.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 32 + x (45 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x (32 + 45 x^{\frac{1}{2}})}{2}$