Calcolo Esempi

$\sqrt{8 x}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\sqrt{8 x}]$ come $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi $8 x$ come $2^{2} \cdot (2 x)$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2) x}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2 x}]$

Passaggio 1.1.3

Aggiungi le parentesi.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}]$

Passaggio 1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x}$ come ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4

Applica la regola del prodotto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 5

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 7.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 8

Poiché $2^{\frac{3}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 10

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 11

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 13

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 13.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 15

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 16

$2^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 17

Semplifica.

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Passaggio 17.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17.2

Sposta $2^{1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{- 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18

Moltiplica $2^{\frac{3}{2}}$ per $2^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 18.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 18.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2^{\frac{3 - 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$