Calcolo Esempi

$y = \sin (\tan (4 x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \tan (4 x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\tan (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\tan (4 x)$ .

$\cos (\tan (4 x)) \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$\cos (\tan (4 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\tan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cos (\tan (4 x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$\cos (\tan (4 x)) (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\tan (4 x)) \sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (\tan (4 x)) \sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1)$

Passaggio 3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\cos (\tan (4 x)) \sec^{2} (4 x) \cdot 4$

Passaggio 3.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos (\tan (4 x)) \sec^{2} (4 x)$ .

$4 \cdot (\cos (\tan (4 x)) \sec^{2} (4 x))$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i fattori di $4 \cos (\tan (4 x)) \sec^{2} (4 x)$ .

$4 \sec^{2} (4 x) \cos (\tan (4 x))$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\sec (4 x)$ in termini di seno e coseno.

$4 {(\frac{1}{\cos (4 x)})}^{2} \cos (\tan (4 x))$

Passaggio 4.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (4 x)}$ .

$4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (4 x)} \cos (\tan (4 x))$

Passaggio 4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \frac{1}{\cos^{2} (4 x)} \cos (\tan (4 x))$

Passaggio 4.5

$4$ e $\frac{1}{\cos^{2} (4 x)}$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (4 x)} \cos (\tan (4 x))$

Passaggio 4.6

$\frac{4}{\cos^{2} (4 x)}$ e $\cos (\tan (4 x))$ .

$\frac{4 \cos (\tan (4 x))}{\cos^{2} (4 x)}$

Passaggio 4.7

Scomponi $\cos (4 x)$ da $\cos^{2} (4 x)$ .

$\frac{4 \cos (\tan (4 x))}{\cos (4 x) \cos (4 x)}$

Passaggio 4.8

Frazioni separate.

$\frac{4}{\cos (4 x)} \cdot \frac{\cos (\tan (4 x))}{\cos (4 x)}$

Passaggio 4.9

Riscrivi $\frac{\cos (\tan (4 x))}{\cos (4 x)}$ come un prodotto.

$\frac{4}{\cos (4 x)} (\cos (\tan (4 x)) \frac{1}{\cos (4 x)})$

Passaggio 4.10

Scrivi $\cos (\tan (4 x))$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{4}{\cos (4 x)} (\frac{\cos (\tan (4 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (4 x)})$

Passaggio 4.11

Semplifica.

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Passaggio 4.11.1

Dividi $\cos (\tan (4 x))$ per $1$ .

$\frac{4}{\cos (4 x)} (\cos (\tan (4 x)) \frac{1}{\cos (4 x)})$

Passaggio 4.11.2

Converti da $\frac{1}{\cos (4 x)}$ a $\sec (4 x)$ .

$\frac{4}{\cos (4 x)} (\cos (\tan (4 x)) \sec (4 x))$

Passaggio 4.12

Frazioni separate.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (4 x)} (\cos (\tan (4 x)) \sec (4 x))$

Passaggio 4.13

Converti da $\frac{1}{\cos (4 x)}$ a $\sec (4 x)$ .

$\frac{4}{1} \sec (4 x) (\cos (\tan (4 x)) \sec (4 x))$

Passaggio 4.14

Dividi $4$ per $1$ .

$4 \sec (4 x) (\cos (\tan (4 x)) \sec (4 x))$

Passaggio 4.15

Moltiplica $4 \sec (4 x) (\cos (\tan (4 x)) \sec (4 x))$ .

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Passaggio 4.15.1

Eleva $\sec (4 x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) \cos (\tan (4 x))$

Passaggio 4.15.2

Eleva $\sec (4 x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) \cos (\tan (4 x))$

Passaggio 4.15.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 {\sec (4 x)}^{1 + 1} \cos (\tan (4 x))$

Passaggio 4.15.4

Somma $1$ e $1$ .

$4 \sec^{2} (4 x) \cos (\tan (4 x))$