Calcolo Esempi

$\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = a t - b t^{2}$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{t}$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a t - b t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}]$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché $a$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $a t$ rispetto a $t$ è $a \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $a$ per $1$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.5

Poiché $- b$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- b t^{2}$ rispetto a $t$ è $- b \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b (2 t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.7.2

$3$ e $\frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$ .

$\frac{3 ((a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) a - \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (a t \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1

Scomponi $t$ da $a t$ .

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 a + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.2

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.2.1

Scomponi $t$ da $- b t^{2}$ .

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 a + 3 (- b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3 a - 3 (b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.4

Moltiplica $3 (- \ln (t) a)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - 3 (\ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.4.2

Riordina $\ln (t)$ e $- 3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - 3 \cdot \ln (t) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.4.3

Semplifica $- 3 \cdot \ln (t)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.5

Moltiplica $- \ln (t) (- 2 b t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.5.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (2 \ln (t) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.5.2

Semplifica $2 \ln (t)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (\ln (t^{2}) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.6

Moltiplica $3 (\ln (t^{2}) (b t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.6.1

Riordina $\ln (t^{2})$ e $3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 \cdot \ln (t^{2}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.6.2

Semplifica $3 \cdot \ln (t^{2})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln ({(t^{2})}^{3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.7

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{2 \cdot 3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Riordina i fattori in $3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.5

Riordina i termini.

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - t^{2} b)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $t$ da $a t - t^{2} b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Scomponi $t$ da $a t$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a - t^{2} b)}^{2}}$

Passaggio 5.6.1.2

Scomponi $t$ da $- t^{2} b$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a + t (- t b))}^{2}}$

Passaggio 5.6.1.3

Scomponi $t$ da $t a + t (- t b)$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t (a - t b))}^{2}}$

Passaggio 5.6.2

Applica la regola del prodotto a $t (a - t b)$ .

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{t^{2} {(a - t b)}^{2}}$