Calcolo Esempi

$\cos^{2} (e^{\cos^{2} (t)})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \cos (e^{\cos^{2} (t)})$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (e^{\cos^{2} (t)})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (e^{\cos^{2} (t)})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cos (e^{\cos^{2} (t)})]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (e^{\cos^{2} (t)})$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [\cos (e^{\cos^{2} (t)})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = e^{\cos^{2} (t)}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $e^{\cos^{2} (t)}$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{\cos^{2} (t)}$ .

$2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (- \sin (e^{\cos^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Passaggio 3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) (\sin (e^{\cos^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [e^{\cos^{2} (t)}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = \cos^{2} (t)$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $\cos^{2} (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [\cos^{2} (t)])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ è $a^{u_{3}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (t)])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\cos^{2} (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) (e^{\cos^{2} (t)} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (t)])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \cos (t)$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $\cos (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ è $n {u_{4}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (2 u_{4} \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $\cos (t)$ .

$- 2 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (2 \cos (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Passaggio 6

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} (\cos (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Passaggio 7

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$- 4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} \cos (t) (- \sin (t))$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} \cos (t) \sin (t)$

Passaggio 8.2

Riordina i fattori di $4 \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) e^{\cos^{2} (t)} \cos (t) \sin (t)$ .

$4 e^{\cos^{2} (t)} \cos (e^{\cos^{2} (t)}) \cos (t) \sin (e^{\cos^{2} (t)}) \sin (t)$