Calcolo Esempi

$\ln (x^{2} + 1) - 3 \ln (x) = \ln (2)$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (x^{2} + 1) - 3 \ln (x) - \ln (2) = 0$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - 3 \ln (x) = 0$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - 3 \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica $- 3 \ln (x)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - \ln (x^{3}) = 0$

Passaggio 3.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2} + 1}{2}}{x^{3}}) = 0$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}) = 0$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $\frac{x^{2} + 1}{2}$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}) = 0$

Passaggio 4

Riscrivi $\ln (\frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}) = 0$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}$

Passaggio 5

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$x^{2} + 1 = e^{0} (2 x^{3})$

Passaggio 6

Semplifica $e^{0} (2 x^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{2} + 1 = 1 (2 x^{3})$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2 x^{3}$ per $1$ .

$x^{2} + 1 = 2 x^{3}$

Passaggio 7

Sottrai $2 x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 1 - 2 x^{3} = 0$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riordina i termini.

$- 2 x^{3} + x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 8.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5$

Passaggio 8.2.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$- 2 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 1$

Passaggio 8.2.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$- 2 \cdot 1 + 1^{2} + 1$

Passaggio 8.2.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 + 1^{2} + 1$

Passaggio 8.2.3.4

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$- 2 + 1 + 1$

Passaggio 8.2.3.5

Somma $- 2$ e $1$ .

$- 1 + 1$

Passaggio 8.2.3.6

Somma $- 1$ e $1$ .

$0$

Passaggio 8.2.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 1}{x - 1}$

Passaggio 8.2.5

Dividi $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 8.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Passaggio 8.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 8.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{3} + 2 x^{2}$

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 8.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Passaggio 8.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 8.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 8.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 8.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} + x$

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 8.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$

Passaggio 8.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$

Passaggio 8.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$

Passaggio 8.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

Passaggio 8.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x + 1$

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 8.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

Passaggio 8.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- 2 x^{2} - x - 1$

Passaggio 8.2.6

Scrivi $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1) = 0$

Passaggio 9

Semplifica $(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Espandi $(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x (- 2 x^{2}) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 2 (x^{2} x) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (x^{2} x^{1}) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 x^{2 + 1} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$- 2 x^{3} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 x^{3} - x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$- 2 x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - 1 \cdot x - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.6

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.7

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.8

Moltiplica $- 1 (- x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + 1 x - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.8.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x + 1 = 0$

Passaggio 9.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Combina i termini opposti in $- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Somma $- x$ e $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + 0 + 1 = 0$

Passaggio 9.2.2.1.2

Somma $- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2}$ e $0$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 10

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{3}$ .

$- (2 x^{3}) + x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 10.1.2

Scomponi $- 1$ da $x^{2}$ .

$- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2}) + 1 = 0$

Passaggio 10.1.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2}) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 10.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2})$ .

$- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 10.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$- (2 x^{3} - x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 10.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scomponi $2 x^{3} - x^{2} - 1$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 10.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5$

Passaggio 10.2.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$2 \cdot 1^{3} - 1^{2} - 1$

Passaggio 10.2.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 1 - 1^{2} - 1$

Passaggio 10.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - 1^{2} - 1$

Passaggio 10.2.1.3.4

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$2 - 1 \cdot 1 - 1$

Passaggio 10.2.1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 - 1 - 1$

Passaggio 10.2.1.3.6

Sottrai $1$ da $2$ .

$1 - 1$

Passaggio 10.2.1.3.7

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 10.2.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 1}{x - 1}$

Passaggio 10.2.1.5

Dividi $2 x^{3} - x^{2} - 1$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 10.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Passaggio 10.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 10.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 10.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Passaggio 10.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 10.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 10.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 10.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 10.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$

Passaggio 10.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 10.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 10.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Passaggio 10.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 1$

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Passaggio 10.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Passaggio 10.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} + x + 1$

Passaggio 10.2.1.6

Scrivi $2 x^{3} - x^{2} - 1$ come insieme di fattori.

$- ((x - 1) (2 x^{2} + x + 1)) = 0$

Passaggio 10.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 1) (2 x^{2} + x + 1) = 0$

Passaggio 11

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x^{2} + x + 1 = 0$

Passaggio 12

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 13

Imposta $2 x^{2} + x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Imposta $2 x^{2} + x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x^{2} + x + 1 = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi $2 x^{2} + x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 13.2.2

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 13.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 13.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 13.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 13.2.3.1.3

Sottrai $8$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 13.2.3.1.4

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 13.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (7)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 13.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 13.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 13.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 1) (2 x^{2} + x + 1) = 0$ vera.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{4}$