Calcolo Esempi

$y = 1 - x^{2}$ , $y = 0$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = - x^{2} + 1$

Passaggio 2

Semplifica l'integrando.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ come $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ .

$V = (- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$

Passaggio 2.2

Espandi $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $- x^{2}$ per $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.7

Moltiplica $1$ per $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 5

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 8

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

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Passaggio 10.1

$\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}$ e $x]_{- 1}^{1}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Passaggio 10.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Calcola $\frac{x^{5}}{5} + x$ per $1$ e per $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Passaggio 10.2.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3

Semplifica.

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Passaggio 10.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.4

Somma $1$ e $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{- 1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.8

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.2.3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.10.2

Sottrai $5$ da $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.12

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + 1 (\frac{6}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.13

Moltiplica $\frac{6}{5}$ per $1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{6 + 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.15

Somma $6$ e $6$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 10.2.3.17

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

Passaggio 10.2.3.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Passaggio 10.2.3.19

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

Passaggio 10.2.3.20

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Passaggio 10.2.3.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 \frac{1 + 1}{3})$

Passaggio 10.2.3.22

Somma $1$ e $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 10.2.3.23

$- 2$ e $\frac{2}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 2}{3})$

Passaggio 10.2.3.24

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 4}{3})$

Passaggio 10.2.3.25

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (\frac{12}{5} - \frac{4}{3})$

Passaggio 10.2.3.26

Per scrivere $\frac{12}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

Passaggio 10.2.3.27

Per scrivere $- \frac{4}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Passaggio 10.2.3.28

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.28.1

Moltiplica $\frac{12}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Passaggio 10.2.3.28.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Passaggio 10.2.3.28.3

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Passaggio 10.2.3.28.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15})$

Passaggio 10.2.3.29

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{12 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{15})$

Passaggio 10.2.3.30

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.30.1

Moltiplica $12$ per $3$ .

$V = π (\frac{36 - 4 \cdot 5}{15})$

Passaggio 10.2.3.30.2

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$V = π (\frac{36 - 20}{15})$

Passaggio 10.2.3.30.3

Sottrai $20$ da $36$ .

$V = π (\frac{16}{15})$

Passaggio 10.2.3.31

$π$ e $\frac{16}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 16}{15}$

Passaggio 10.2.3.32

Sposta $16$ alla sinistra di $π$ .

$V = \frac{16 π}{15}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{16 π}{15}$

Forma decimale:

$V = 3.35103216 \dots$

Passaggio 12