Calcolo Esempi

$y = x^{\frac{5}{4}}$ , $y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina l'esponente frazionario moltiplicando entrambi gli esponenti per il minimo comune denominatore.

${(x^{\frac{5}{4}})}^{4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{5}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Passaggio 1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{5} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica ${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{5} = 3^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Passaggio 1.2.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$x^{5} = 81 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{5} = 81 x^{1}$

Passaggio 1.2.3.4

Semplifica.

$x^{5} = 81 x$

Passaggio 1.2.4

Sottrai $81 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{5} - 81 x = 0$

Passaggio 1.2.5

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Scomponi $x$ da $x^{5} - 81 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 81 x = 0$

Passaggio 1.2.5.1.2

Scomponi $x$ da $- 81 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81 = 0$

Passaggio 1.2.5.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{4} + x \cdot - 81$ .

$x (x^{4} - 81) = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Passaggio 1.2.5.3

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.5.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = 9$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Passaggio 1.2.5.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.5.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Passaggio 1.2.5.5.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.5.1.2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$x ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Passaggio 1.2.5.5.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Passaggio 1.2.5.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Passaggio 1.2.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0 + y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.2.7

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.8

Imposta $x^{2} + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Imposta $x^{2} + 9$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Passaggio 1.2.8.2

Risolvi $x^{2} + 9 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 9$

Passaggio 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Passaggio 1.2.8.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.3.1

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Passaggio 1.2.8.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (9)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 1.2.8.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Passaggio 1.2.8.2.3.4

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 1.2.8.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 3$

Passaggio 1.2.8.2.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 3 i$

Passaggio 1.2.8.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3 i$

Passaggio 1.2.8.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3 i$

Passaggio 1.2.8.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3 i, - 3 i$

Passaggio 1.2.9

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.9.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 1.2.10

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 1.2.10.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 1.2.11

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $0$ per $x$ in $y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica $3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{4}$ .

$y = 3 \cdot {(0^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 1.3.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 3 \cdot 0^{1}$

Passaggio 1.3.2.2.3

Calcola l'esponente.

$y = 3 \cdot 0$

Passaggio 1.3.2.2.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 3 i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $3 i$ .

$y = 3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica $3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Applica la regola del prodotto a $3 i$ .

$y = 3 (3^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 1.4.2.2

Moltiplica $3$ per $3^{\frac{1}{4}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Sposta $3^{\frac{1}{4}}$ .

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3 i^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Moltiplica $3^{\frac{1}{4}}$ per $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{1} i^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = 3^{\frac{1}{4} + 1} i^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.4.2.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = 3^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.4.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = 3^{\frac{1 + 4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.4.2.2.5

Somma $1$ e $4$ .

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.5

Risolvi $y$ quando $x = - 3 i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sostituisci $x$ per $- 3 i$ .

$y = 3 {(- 3 i)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.5.2

Applica la regola del prodotto a $- 3 i$ .

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $x$ per $- 3$ .

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.7

Risolvi $y$ quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci $x$ per $3$ .

$y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci $3$ per $x$ in $y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 3 \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.7.2.2

Moltiplica $3$ per $3^{\frac{1}{4}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.2.1

Moltiplica $3$ per $3^{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$y = 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.7.2.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = 3^{1 + \frac{1}{4}}$

Passaggio 1.7.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = 3^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Passaggio 1.7.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = 3^{\frac{4 + 1}{4}}$

Passaggio 1.7.2.2.4

Somma $4$ e $1$ .

$y = 3^{\frac{5}{4}}$

Passaggio 1.8

Elenca tutte le soluzioni.

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

Passaggio 2

L'area tra le curve date è illimitata.

Area illimitata

Passaggio 3