Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} - 1}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{2^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{2^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{2^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2^{x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $2^{x} \ln (2)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} \ln (2)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $2^{x} \ln (2)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} 2^{x} \ln (2)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\ln (2)$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\ln (2) lim_{x \to 0} 2^{x}$

Passaggio 2.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\ln (2) \cdot 2^{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\ln (2) \cdot 2^{0}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\ln (2) \cdot 1$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\ln (2)$ per $1$ .

$\ln (2)$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (2)$

Forma decimale:

$0.69314718 \dots$