Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2} + x}$

Passaggio 1

Semplifica l'argomento del limite.

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Passaggio 1.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1.1

Per scrivere $\frac{1}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} + x}{x^{2} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x} - \frac{1}{x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $- \frac{1}{x^{2} + x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x} - \frac{1}{x^{2} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 1.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (x^{2} + x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{x^{2} + x}{x^{2} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x (x^{2} + x)} - \frac{1}{x^{2} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x^{2} + x}$ per $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x (x^{2} + x)} - \frac{x}{(x^{2} + x) x}$

Passaggio 1.1.3.3

Riordina i fattori di $(x^{2} + x) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x}{x (x^{2} + x)} - \frac{x}{x (x^{2} + x)}$

Passaggio 1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x - x}{x (x^{2} + x)}$

Passaggio 1.1.5

Sottrai $x$ da $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 0}{x (x^{2} + x)}$

Passaggio 1.1.6

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x (x^{2} + x)}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + x)}$

Passaggio 1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + x)}$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3.3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 2.1.3.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Passaggio 2.1.3.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.3.4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 2.1.3.4.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 1}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 3.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 3.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Passaggio 5.1.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 5.2

Dividi $1$ per $1$ .

$1$