Calcolo Esempi

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta l'esponente $2$ da ${(x + h)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.5

Calcola il limite di $x^{2}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{{(x + 0)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3

Combina i termini opposti in ${(x + 0)}^{2} - x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(x + h) (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x (x + h) + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.2

Somma $x h$ e $h x$ .

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Passaggio 1.3.4.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + h x + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d h} [2 h x]$ .

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Passaggio 1.3.7.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $2 h x$ rispetto a $h$ è $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.7.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.9

Poiché $- x^{2}$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.10

Semplifica.

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Passaggio 1.3.10.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.10.1.1

Somma $0$ e $2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.10.1.2

Somma $2 x + 2 h$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.10.2

Riordina i termini.

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $2 h + 2 x$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 h + 2 x$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 2 x$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $2 x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$2 lim_{h \to 0} h + 2 x$

Passaggio 3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$2 \cdot 0 + 2 x$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 4.2

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$