Calcolo Esempi

$y = {(2 x + 1)}^{4 x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{4 x})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi ${(2 x + 1)}^{4 x}$ come $e^{\ln ({(2 x + 1)}^{4 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(2 x + 1)}^{4 x})}]$

Passaggio 3.1.2

Espandi $\ln ({(2 x + 1)}^{4 x})$ spostando $4 x$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x \ln (2 x + 1)}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x \ln (2 x + 1)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x \ln (2 x + 1)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x \ln (2 x + 1)]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x \ln (2 x + 1)$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} \frac{d}{d x} [4 x \ln (2 x + 1)]$

Passaggio 3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x \ln (2 x + 1)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x + 1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.5.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x + 1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.6

Differenzia.

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Passaggio 3.6.1

$\frac{1}{2 x + 1}$ e $x$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.6.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.6.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.6.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.6.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.6.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.6.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.6.7.2

$\frac{x}{2 x + 1}$ e $2$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.6.7.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.6.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1))$

Passaggio 3.6.9

Moltiplica $\ln (2 x + 1)$ per $1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1)))$

Passaggio 3.7

Per scrivere $\ln (2 x + 1)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}))$

Passaggio 3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 \frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1})$

Passaggio 3.9

$4$ e $\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} \frac{4 (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 3.10

$e^{4 x \ln (2 x + 1)}$ e $\frac{4 (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$ .

$\frac{e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11

Semplifica.

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Passaggio 3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (2 x) + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.11.2.1

Semplifica $4 \ln (2 x + 1)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (4 (2 x) + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.11.2.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.2.2.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.2.2.4

Moltiplica $\ln (2 x + 1)$ per $1$ .

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.2.2.5

Semplifica $2 \ln (2 x + 1)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.2.2.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + 4 \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.2.2.7

Moltiplica $4 (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x)$ .

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Passaggio 3.11.2.2.7.1

Riordina $\ln ({(2 x + 1)}^{2})$ e $4$ .

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + 4 \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.2.2.7.2

Semplifica $4 \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({({(2 x + 1)}^{2})}^{4}) x + 4 \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.2.2.8

Semplifica $4 \ln (2 x + 1)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({({(2 x + 1)}^{2})}^{4}) x + \ln ({(2 x + 1)}^{4}))}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.2.2.9

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x + 1)}^{2})}^{4}$ .

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Passaggio 3.11.2.2.9.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2 \cdot 4}) x + \ln ({(2 x + 1)}^{4}))}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.2.2.9.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({(2 x + 1)}^{8}) x + \ln ({(2 x + 1)}^{4}))}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (\ln ({(2 x + 1)}^{8}) x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (\ln ({(2 x + 1)}^{8}) x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.2.5

Riordina i fattori in $8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (\ln ({(2 x + 1)}^{8}) x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})$ .

$\frac{8 x e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} + x e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

Passaggio 3.11.3

Riordina i termini.

$\frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$