Calcolo Esempi

Trovare i Massimi e i Minimi Locali f(x)=(x^2-1)^3
Passaggio 1
Trova la derivata prima della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.1.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.2
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.2.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.4
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.4.1
Somma e .
Passaggio 1.2.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.4.3
Riordina i fattori di .
Passaggio 2
Trova la derivata seconda della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che è dove e .
Passaggio 2.3
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 2.3.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.3.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.4
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.4.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.4.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.4.4
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.4.4.1
Somma e .
Passaggio 2.4.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.5
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.6
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.7
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.8
Somma e .
Passaggio 2.9
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.10
Moltiplica per .
Passaggio 2.11
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.11.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.11.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.11.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.11.4
Raccogli i termini.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.11.4.1
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.11.4.1.1
Sposta .
Passaggio 2.11.4.1.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.11.4.1.3
Somma e .
Passaggio 2.11.4.2
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 2.11.4.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.11.4.4
Moltiplica per .
Passaggio 2.11.4.5
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 2.11.4.6
Moltiplica per .
Passaggio 2.11.5
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.11.5.1
Riscrivi come .
Passaggio 2.11.5.2
Espandi usando il metodo FOIL.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.11.5.2.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.11.5.2.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.11.5.2.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.11.5.3
Semplifica e combina i termini simili.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.11.5.3.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.11.5.3.1.1
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.11.5.3.1.1.1
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.11.5.3.1.1.2
Somma e .
Passaggio 2.11.5.3.1.2
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 2.11.5.3.1.3
Riscrivi come .
Passaggio 2.11.5.3.1.4
Riscrivi come .
Passaggio 2.11.5.3.1.5
Moltiplica per .
Passaggio 2.11.5.3.2
Sottrai da .
Passaggio 2.11.5.4
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.11.5.5
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.11.5.5.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.11.5.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.11.6
Somma e .
Passaggio 2.11.7
Sottrai da .
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 4.1.1.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 4.1.1.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 4.1.2
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 4.1.2.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2.4
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.4.1
Somma e .
Passaggio 4.1.2.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.4.3
Riordina i fattori di .
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 5.3
Imposta uguale a .
Passaggio 5.4
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.1
Imposta uguale a .
Passaggio 5.4.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.1
Scomponi il primo membro dell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.1.1
Riscrivi come .
Passaggio 5.4.2.1.2
Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, dove e .
Passaggio 5.4.2.1.3
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 5.4.2.2
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 5.4.2.3
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.3.1
Imposta uguale a .
Passaggio 5.4.2.3.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.3.2.1
Poni uguale a .
Passaggio 5.4.2.3.2.2
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.4.2.4
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.4.1
Imposta uguale a .
Passaggio 5.4.2.4.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.4.2.1
Poni uguale a .
Passaggio 5.4.2.4.2.2
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.4.2.5
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 5.5
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 6
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 9.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 9.1.3
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 9.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 9.2
Semplifica aggiungendo i numeri.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.2.1
Somma e .
Passaggio 9.2.2
Somma e .
Passaggio 10
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 11
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 11.2.2
Sottrai da .
Passaggio 11.2.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 11.2.4
La risposta finale è .
Passaggio 12
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 13
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 13.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 13.2
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.2.1
Sottrai da .
Passaggio 13.2.2
Somma e .
Passaggio 14
Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda o indefinita, applica il test della derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.1
Dividi in intervalli separati intorno ai valori che rendono la derivata prima o indefinita.
Passaggio 14.2
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dall'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.2.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 14.2.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.2.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 14.2.2.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.2.2.3
Sottrai da .
Passaggio 14.2.2.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.2.2.5
Moltiplica per .
Passaggio 14.2.2.6
La risposta finale è .
Passaggio 14.3
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dall'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.3.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 14.3.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.3.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 14.3.2.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.3.2.3
Sottrai da .
Passaggio 14.3.2.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.3.2.5
Moltiplica per .
Passaggio 14.3.2.6
La risposta finale è .
Passaggio 14.4
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dall'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.4.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 14.4.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.4.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 14.4.2.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.4.2.3
Sottrai da .
Passaggio 14.4.2.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.4.2.5
Moltiplica per .
Passaggio 14.4.2.6
La risposta finale è .
Passaggio 14.5
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dall'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.5.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 14.5.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.5.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 14.5.2.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.5.2.3
Sottrai da .
Passaggio 14.5.2.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.5.2.5
Moltiplica per .
Passaggio 14.5.2.6
La risposta finale è .
Passaggio 14.6
Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.
Non è un minimo o un massimo locale
Passaggio 14.7
Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a , allora è un minimo locale.
è un minimo locale
Passaggio 14.8
Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.
Non è un minimo o un massimo locale
Passaggio 14.9
Questi sono gli estremi locali per .
è un minimo locale
è un minimo locale
Passaggio 15