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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 1.1.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.1.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.2
Differenzia.
Passaggio 1.2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.2.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.4
Semplifica l'espressione.
Passaggio 1.2.4.1
Somma e .
Passaggio 1.2.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.2.4.3
Riordina i fattori di .
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che è dove e .
Passaggio 2.3
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 2.3.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 2.3.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.3.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.4
Differenzia.
Passaggio 2.4.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.4.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.4.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.4.4
Semplifica l'espressione.
Passaggio 2.4.4.1
Somma e .
Passaggio 2.4.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.5
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.6
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.7
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.8
Somma e .
Passaggio 2.9
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.10
Moltiplica per .
Passaggio 2.11
Semplifica.
Passaggio 2.11.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.11.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.11.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.11.4
Raccogli i termini.
Passaggio 2.11.4.1
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Passaggio 2.11.4.1.1
Sposta .
Passaggio 2.11.4.1.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.11.4.1.3
Somma e .
Passaggio 2.11.4.2
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 2.11.4.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.11.4.4
Moltiplica per .
Passaggio 2.11.4.5
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 2.11.4.6
Moltiplica per .
Passaggio 2.11.5
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 2.11.5.1
Riscrivi come .
Passaggio 2.11.5.2
Espandi usando il metodo FOIL.
Passaggio 2.11.5.2.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.11.5.2.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.11.5.2.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.11.5.3
Semplifica e combina i termini simili.
Passaggio 2.11.5.3.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 2.11.5.3.1.1
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Passaggio 2.11.5.3.1.1.1
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.11.5.3.1.1.2
Somma e .
Passaggio 2.11.5.3.1.2
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 2.11.5.3.1.3
Riscrivi come .
Passaggio 2.11.5.3.1.4
Riscrivi come .
Passaggio 2.11.5.3.1.5
Moltiplica per .
Passaggio 2.11.5.3.2
Sottrai da .
Passaggio 2.11.5.4
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.11.5.5
Semplifica.
Passaggio 2.11.5.5.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.11.5.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.11.6
Somma e .
Passaggio 2.11.7
Sottrai da .
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Passaggio 4.1.1
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 4.1.1.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 4.1.1.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 4.1.1.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 4.1.2
Differenzia.
Passaggio 4.1.2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 4.1.2.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2.4
Semplifica l'espressione.
Passaggio 4.1.2.4.1
Somma e .
Passaggio 4.1.2.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.4.3
Riordina i fattori di .
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 5.3
Imposta uguale a .
Passaggio 5.4
Imposta uguale a e risolvi per .
Passaggio 5.4.1
Imposta uguale a .
Passaggio 5.4.2
Risolvi per .
Passaggio 5.4.2.1
Scomponi il primo membro dell'equazione.
Passaggio 5.4.2.1.1
Riscrivi come .
Passaggio 5.4.2.1.2
Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, dove e .
Passaggio 5.4.2.1.3
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 5.4.2.2
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 5.4.2.3
Imposta uguale a e risolvi per .
Passaggio 5.4.2.3.1
Imposta uguale a .
Passaggio 5.4.2.3.2
Risolvi per .
Passaggio 5.4.2.3.2.1
Poni uguale a .
Passaggio 5.4.2.3.2.2
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.4.2.4
Imposta uguale a e risolvi per .
Passaggio 5.4.2.4.1
Imposta uguale a .
Passaggio 5.4.2.4.2
Risolvi per .
Passaggio 5.4.2.4.2.1
Poni uguale a .
Passaggio 5.4.2.4.2.2
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.4.2.5
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 5.5
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Passaggio 9.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 9.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 9.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 9.1.3
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 9.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 9.2
Semplifica aggiungendo i numeri.
Passaggio 9.2.1
Somma e .
Passaggio 9.2.2
Somma e .
Passaggio 10
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 11
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 11.2.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 11.2.2
Sottrai da .
Passaggio 11.2.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 11.2.4
La risposta finale è .
Passaggio 12
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 13
Passaggio 13.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 13.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 13.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 13.2
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Passaggio 13.2.1
Sottrai da .
Passaggio 13.2.2
Somma e .
Passaggio 14
Passaggio 14.1
Dividi in intervalli separati intorno ai valori che rendono la derivata prima o indefinita.
Passaggio 14.2
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dall'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Passaggio 14.2.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 14.2.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 14.2.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 14.2.2.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.2.2.3
Sottrai da .
Passaggio 14.2.2.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.2.2.5
Moltiplica per .
Passaggio 14.2.2.6
La risposta finale è .
Passaggio 14.3
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dall'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Passaggio 14.3.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 14.3.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 14.3.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 14.3.2.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.3.2.3
Sottrai da .
Passaggio 14.3.2.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.3.2.5
Moltiplica per .
Passaggio 14.3.2.6
La risposta finale è .
Passaggio 14.4
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dall'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Passaggio 14.4.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 14.4.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 14.4.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 14.4.2.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.4.2.3
Sottrai da .
Passaggio 14.4.2.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.4.2.5
Moltiplica per .
Passaggio 14.4.2.6
La risposta finale è .
Passaggio 14.5
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dall'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Passaggio 14.5.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 14.5.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 14.5.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 14.5.2.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.5.2.3
Sottrai da .
Passaggio 14.5.2.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14.5.2.5
Moltiplica per .
Passaggio 14.5.2.6
La risposta finale è .
Passaggio 14.6
Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.
Non è un minimo o un massimo locale
Passaggio 14.7
Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a , allora è un minimo locale.
è un minimo locale
Passaggio 14.8
Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.
Non è un minimo o un massimo locale
Passaggio 14.9
Questi sono gli estremi locali per .
è un minimo locale
è un minimo locale
Passaggio 15