Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4} + 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Passaggio 1.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Passaggio 1.2.4.2

$4$ e $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Passaggio 1.2.4.3

$\frac{4}{x^{4} + 27}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 27})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 2.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 27) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 2.3.5

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 2.4

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 2.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 2.4.3

Somma $3$ e $3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Passaggio 2.5

$4$ e $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (27 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.1.3

Somma $2$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.3

Moltiplica $3$ per $27$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.4

Moltiplica $81$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.1.5

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 2.6.4.2

Sottrai $16 x^{6}$ da $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4} + 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Passaggio 4.1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Passaggio 4.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + 0)$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3})$

Passaggio 4.1.2.4.2

$4$ e $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 27} \cdot x^{3}$

Passaggio 4.1.2.4.3

$\frac{4}{x^{4} + 27}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 x^{3} = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{3} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{3} = 0$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.3.1.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 5.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{- 4 {(0)}^{6} + 324 {(0)}^{2}}{{({(0)}^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{- 4 \cdot 0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$\frac{0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0 + 324 \cdot 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $324$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 9.1.5

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 27)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $27$ .

$\frac{0}{27^{2}}$

Passaggio 9.2.3

Eleva $27$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{729}$

Passaggio 9.3

Dividi $0$ per $729$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dall'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{4} + 27}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{{(- 2)}^{4} + 27}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{16 + 27}$

Passaggio 10.2.2.2.2

Somma $16$ e $27$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{43}$

Passaggio 10.2.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.3.1

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32}{43}$

Passaggio 10.2.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{32}{43}$

Passaggio 10.2.2.4

La risposta finale è $- \frac{32}{43}$ .

$- \frac{32}{43}$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dall'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{{(2)}^{4} + 27}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{2^{4} + 27}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{2^{4} + 27}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Somma $2$ e $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{2^{4} + 27}$

Passaggio 10.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{16 + 27}$

Passaggio 10.3.2.2.2

Somma $16$ e $27$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{43}$

Passaggio 10.3.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f' (2) = \frac{32}{43}$

Passaggio 10.3.2.4

La risposta finale è $\frac{32}{43}$ .

$\frac{32}{43}$

Passaggio 10.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un minimo locale.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11