Calcolo Esempi

$f (x) = \cos (π x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = π x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x$ .

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$- \sin (π x) π$

Passaggio 1.2.3.2

Riordina i fattori di $- \sin (π x) π$ .

$- π \sin (π x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π \sin (π x)$ rispetto a $x$ è $- π \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$f'' (x) = - π \frac{d}{d x} \sin (π x)$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π x$ .

$f'' (x) = - π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (π x))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - π (\cos (u) \frac{d}{d x} (π x))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x$ .

$f'' (x) = - π (\cos (π x) \frac{d}{d x} (π x))$

Passaggio 2.3

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - π \cos (π x) (π \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.5

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - π^{1 + 1} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \cdot 1$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- π \sin (π x) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $- π$ ciascun termine in $- π \sin (π x) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $- π$ ciascun termine in $- π \sin (π x) = 0$ .

$\frac{- π \sin (π x)}{- π} = \frac{0}{- π}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Passaggio 4.2.2.2

Dividi $\sin (π x)$ per $1$ .

$\sin (π x) = \frac{0}{- π}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $- π$ .

$\sin (π x) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$π x = \arcsin (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$π x = 0$

Passaggio 7

Dividi per $π$ ciascun termine in $π x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $π$ ciascun termine in $π x = 0$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Dividi $0$ per $π$ .

$x = 0$

Passaggio 8

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$π x = π - 0$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$π x = π + 0$

Passaggio 9.1.2

Somma $π$ e $0$ .

$π x = π$

Passaggio 9.2

Dividi per $π$ ciascun termine in $π x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Dividi per $π$ ciascun termine in $π x = π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{π}{π}$

Passaggio 9.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 1$

Passaggio 10

La soluzione dell'equazione $π x = 0$ .

$x = 0, 1$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- π^{2} \cos (π (0))$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$- π^{2} \cos (0)$

Passaggio 12.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- π^{2} \cdot 1$

Passaggio 12.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- π^{2}$

Passaggio 13

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \cos (π (0))$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$f (0) = \cos (0)$

Passaggio 14.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 14.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- π^{2} \cos (π (1))$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$- π^{2} \cos (π)$

Passaggio 16.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- π^{2} (- \cos (0))$

Passaggio 16.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- π^{2} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 16.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- π^{2} \cdot - 1$

Passaggio 16.5

Moltiplica $- π^{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 π^{2}$

Passaggio 16.5.2

Moltiplica $π^{2}$ per $1$ .

$π^{2}$

Passaggio 17

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 18

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \cos (π (1))$

Passaggio 18.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$f (1) = \cos (π)$

Passaggio 18.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (1) = - \cos (0)$

Passaggio 18.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 18.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = - 1$

Passaggio 18.2.5

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 19

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \cos (π x)$ .

$(0, 1)$ è un massimo locale

$(1, - 1)$ è un minimo locale

Passaggio 20