Calcolo Esempi

$f (x) = x + 2 \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$1 + 2 (- \sin (x))$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$1 - 2 \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

Passaggio 2.3

Sottrai $2 \cos (x)$ da $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Passaggio 5

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - 1$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 8

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 9

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 9.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 9.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 9.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 10

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \sqrt{3}$

Passaggio 12.3

Riscrivi $- 1 \sqrt{3}$ come $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3}$

Passaggio 13

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = (\frac{π}{6}) + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 14.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 14.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Passaggio 14.2.2

La risposta finale è $\frac{π}{6} + \sqrt{3}$ .

$y = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5 π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Passaggio 16.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 16.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 16.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 16.3.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 16.3.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 (- \sqrt{3})$

Passaggio 16.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \sqrt{3}$

Passaggio 16.4.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\sqrt{3}$

Passaggio 17

$x = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale

Passaggio 18

Trova il valore di y quando $x = \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = (\frac{5 π}{6}) + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Passaggio 18.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Passaggio 18.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 18.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 18.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 18.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

Passaggio 18.2.2

La risposta finale è $\frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

Passaggio 19

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x + 2 \cos (x)$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3})$ è un massimo locale

$(\frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} - \sqrt{3})$ è un minimo locale

Passaggio 20