Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 5$ e $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 3$ .

$\frac{2 \cdot (x - 3) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.1.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Scomponi $x^{2} - 6 x + 5$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $5$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 5, - 1$

Passaggio 2.3.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 5$ e $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.4.2

Moltiplica $x - 5$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.7

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.8.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + x - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 5 - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.8.4

Sottrai $1$ da $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.6.2

Scomponi $x - 3$ da ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Scomponi $x - 3$ da ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.6.2.2

Scomponi $x - 3$ da $- 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.6.2.3

Scomponi $x - 3$ da $(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Scomponi $x - 3$ da ${(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.7.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.10

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.11.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.2.1.1

Espandi $(x - 3) (2 x - 6)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 6) - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.2.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.2.1.3

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.2.2

Sottrai $6 x$ da $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x + 10) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.4

Espandi $(- 2 x + 10) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x (x - 1) + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.2.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.2.1.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.2.1.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.5.1.3

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.1.5.2

Somma $2 x$ e $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.2.2.1

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 0 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.2.2

Somma $- 12 x + 18$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.2.3

Somma $- 12 x$ e $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.2.4

Somma $0$ e $18$ .

$f'' (x) = \frac{18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 3.12.2.3

Sottrai $10$ da $18$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 3)}^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.4.1.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.4.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.3.5

Scomponi $x^{2} - 6 x + 5$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $5$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 5, - 1$

Passaggio 5.1.3.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(x - 5) (x - 1) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.3.2

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 6.3.2.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 6.3.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 6.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 5, 1$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 7.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 5, 1$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{8}{{((5) - 3)}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Sottrai $3$ da $5$ .

$\frac{8}{2^{3}}$

Passaggio 10.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{8}{8}$

Passaggio 10.2

Dividi $8$ per $8$ .

$1$

Passaggio 11

$x = 5$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 5$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = \frac{{(5)}^{2} - 5}{(5) - 3}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = \frac{25 - 5}{5 - 3}$

Passaggio 12.2.1.2

Sottrai $5$ da $25$ .

$f (5) = \frac{20}{5 - 3}$

Passaggio 12.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Sottrai $3$ da $5$ .

$f (5) = \frac{20}{2}$

Passaggio 12.2.2.2

Dividi $20$ per $2$ .

$f (5) = 10$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $10$ .

$y = 10$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{8}{{((1) - 3)}^{3}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

Passaggio 14.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{8}{- 8}$

Passaggio 14.2

Dividi $8$ per $- 8$ .

$- 1$

Passaggio 15

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2} - 5}{(1) - 3}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1 - 5}{1 - 3}$

Passaggio 16.2.1.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{1 - 3}$

Passaggio 16.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Sottrai $3$ da $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{- 2}$

Passaggio 16.2.2.2

Dividi $- 4$ per $- 2$ .

$f (1) = 2$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ .

$(5, 10)$ è un minimo locale

$(1, 2)$ è un massimo locale

Passaggio 18