Calcolo Esempi

$y = x^{4} - 2 x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{4} - 2 x^{2}$ come funzione.

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 2 (2 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 5.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x)$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 4 x$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 4 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Scomponi $4 x$ da $- 4 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 6.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 6.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 6.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 6.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(0)}^{2} - 4$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$12 \cdot 0 - 4$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 - 4$

Passaggio 10.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$- 4$

Passaggio 11

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{2}$

Passaggio 12.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 12.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(- 1)}^{2} - 4$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$12 \cdot 1 - 4$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 - 4$

Passaggio 14.2

Sottrai $4$ da $12$ .

$8$

Passaggio 15

$x = - 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1) = 1 - 2 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 16.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot 1$

Passaggio 16.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (- 1) = 1 - 2$

Passaggio 16.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (- 1) = - 1$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 {(1)}^{2} - 4$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 \cdot 1 - 4$

Passaggio 18.1.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 - 4$

Passaggio 18.2

Sottrai $4$ da $12$ .

$8$

Passaggio 19

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 20

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{2}$

Passaggio 20.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{2}$

Passaggio 20.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1$

Passaggio 20.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 2$

Passaggio 20.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (1) = - 1$

Passaggio 20.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 21

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ .

$(0, 0)$ è un massimo locale

$(- 1, - 1)$ è un minimo locale

$(1, - 1)$ è un minimo locale

Passaggio 22