Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Passaggio 1.3.4

Riordina i termini.

$2 x \ln (x) + x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x \ln (x) + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.5

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 x \ln (x) + x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Passaggio 4.1.3.4

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x \ln (x) + x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x \ln (x) = - x$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x \ln (x) = - x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x \ln (x) = - x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Passaggio 5.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 6.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 3$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sposta $e^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 3$

Passaggio 9.1.2

Espandi $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ spostando $- \frac{1}{2}$ fuori dal logaritmo.

$2 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 3$

Passaggio 9.1.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$2 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 3$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Passaggio 9.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

Passaggio 9.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

Passaggio 9.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 + 3$

Passaggio 9.2

Somma $- 1$ e $3$ .

$2$

Passaggio 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.2.3

Sposta $e^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 11.2.4

Espandi $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ spostando $- \frac{1}{2}$ fuori dal logaritmo.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

Passaggio 11.2.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Passaggio 11.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

Passaggio 11.2.7

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{e \cdot 2}$

Passaggio 11.2.8

Sposta $2$ alla sinistra di $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{2 e}$

Passaggio 11.2.9

La risposta finale è $- \frac{1}{2 e}$ .

$y = - \frac{1}{2 e}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$ è un minimo locale

Passaggio 13