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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui è dove e .
Passaggio 1.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3
Differenzia usando la regola della potenza.
Passaggio 1.3.1
e .
Passaggio 1.3.2
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 1.3.2.1
Scomponi da .
Passaggio 1.3.2.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 1.3.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.3.2.2.2
Scomponi da .
Passaggio 1.3.2.2.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.3.2.2.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.3.2.2.5
Dividi per .
Passaggio 1.3.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.3.4
Riordina i termini.
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Differenzia.
Passaggio 2.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.2
Calcola .
Passaggio 2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.2
Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui è dove e .
Passaggio 2.2.3
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.4
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.2.5
e .
Passaggio 2.2.6
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 2.2.6.1
Scomponi da .
Passaggio 2.2.6.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 2.2.6.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.2.6.2.2
Scomponi da .
Passaggio 2.2.6.2.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.2.6.2.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.2.6.2.5
Dividi per .
Passaggio 2.3
Semplifica.
Passaggio 2.3.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.3.2
Raccogli i termini.
Passaggio 2.3.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.3.2.2
Somma e .
Passaggio 2.3.3
Riordina i termini.
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Passaggio 4.1.1
Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui è dove e .
Passaggio 4.1.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.3
Differenzia usando la regola della potenza.
Passaggio 4.1.3.1
e .
Passaggio 4.1.3.2
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 4.1.3.2.1
Scomponi da .
Passaggio 4.1.3.2.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 4.1.3.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.1.3.2.2.2
Scomponi da .
Passaggio 4.1.3.2.2.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 4.1.3.2.2.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 4.1.3.2.2.5
Dividi per .
Passaggio 4.1.3.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.3.4
Riordina i termini.
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.3
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Passaggio 5.3.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 5.3.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 5.3.2.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 5.3.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.3.2.1.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.3.2.2
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 5.3.2.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.3.2.2.2
Dividi per .
Passaggio 5.3.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 5.3.3.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 5.3.3.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.3.3.1.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.3.3.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 5.4
Per risolvere per , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.
Passaggio 5.5
Riscrivi in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se e sono numeri reali positivi e , allora è equivalente a .
Passaggio 5.6
Risolvi per .
Passaggio 5.6.1
Riscrivi l'equazione come .
Passaggio 5.6.2
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Imposta l'argomento in in modo che sia minore o uguale a per individuare dove l'espressione è definita.
Passaggio 6.2
L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a , l'argomento di una radice quadrata è minore di o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a .
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Passaggio 9.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 9.1.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 9.1.2
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 9.1.3
Moltiplica gli esponenti in .
Passaggio 9.1.3.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 9.1.3.2
e .
Passaggio 9.1.4
e .
Passaggio 9.1.5
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 9.1.6
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 9.1.7
Moltiplica gli esponenti in .
Passaggio 9.1.7.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 9.1.7.2
e .
Passaggio 9.1.8
e .
Passaggio 9.1.9
Sposta al numeratore usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 9.1.10
Espandi spostando fuori dal logaritmo.
Passaggio 9.1.11
Il logaritmo naturale di è .
Passaggio 9.1.12
Moltiplica per .
Passaggio 9.1.13
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 9.1.13.1
Sposta il negativo all'inizio di nel numeratore.
Passaggio 9.1.13.2
Scomponi da .
Passaggio 9.1.13.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.1.13.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.1.14
e .
Passaggio 9.1.15
Moltiplica per .
Passaggio 9.1.16
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 9.2
Riduci le frazioni.
Passaggio 9.2.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 9.2.2
Sottrai da .
Passaggio 10
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 11
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 11.2.1
Semplifica l'espressione.
Passaggio 11.2.1.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 11.2.1.2
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 11.2.2
Semplifica il denominatore.
Passaggio 11.2.2.1
Moltiplica gli esponenti in .
Passaggio 11.2.2.1.1
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 11.2.2.1.2
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 11.2.2.1.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 11.2.2.1.2.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 11.2.2.2
Semplifica.
Passaggio 11.2.3
Sposta al numeratore usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 11.2.4
Espandi spostando fuori dal logaritmo.
Passaggio 11.2.5
Il logaritmo naturale di è .
Passaggio 11.2.6
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.7
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.8
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 11.2.9
La risposta finale è .
Passaggio 12
Questi sono gli estremi locali per .
è un minimo locale
Passaggio 13