Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{3} - 12 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{2} - 12 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$12 x^{2} - 12$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{2} - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 24 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $24 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$12 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 12 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 12$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} - 12$ .

$12 x^{2} - 12$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} - 12 = 0$ .

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Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$12 x^{2} = 12$

Passaggio 5.3

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x^{2} = 12$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x^{2} = 12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{12}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $12$ per $12$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 5.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 5.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 5.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 5.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1, - 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$24 (1)$

Passaggio 9

Moltiplica $24$ per $1$ .

$24$

Passaggio 10

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

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Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 4 {(1)}^{3} - 12 \cdot 1$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 4 \cdot 1 - 12 \cdot 1$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1) = 4 - 12 \cdot 1$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f (1) = 4 - 12$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $12$ da $4$ .

$f (1) = - 8$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 8$ .

$y = - 8$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$24 (- 1)$

Passaggio 13

Moltiplica $24$ per $- 1$ .

$- 24$

Passaggio 14

$x = - 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 12 \cdot - 1$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = 4 \cdot - 1 - 12 \cdot - 1$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 - 12 \cdot - 1$

Passaggio 15.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + 12$

Passaggio 15.2.2

Somma $- 4$ e $12$ .

$f (- 1) = 8$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $8$ .

$y = 8$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 4 x^{3} - 12 x$ .

$(1, - 8)$ è un minimo locale

$(- 1, 8)$ è un massimo locale

Passaggio 17