Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.2.6

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.2.7.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.2.7.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{2 - 3 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.2.7.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.2.7.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 3}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 3}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 3}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.3.5

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{1 - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.3.6.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{0}{1 + 2 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.3.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{0}{1 + 2 - 3}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Passaggio 1.1.3.6.3

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 2 x - 3} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $4 x + 3$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.9.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.9.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.10

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 + 0}$

Passaggio 1.3.11

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + lim_{x \to - 1} 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 2}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 2}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{4 \cdot - 1 + 3}{2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{4 \cdot - 1 + 3}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{- 4 + 3}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2

Somma $- 4$ e $3$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 1}{- 2 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 1}{- 2 - 2}$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$\frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 4.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.25$