Calcolo Esempi

$lim_{x \to 6} \frac{x^{3} - 36 x}{x - 6}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 6} x^{3} - 36 x}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} x^{3} - lim_{x \to 6} 36 x}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{3} - lim_{x \to 6} 36 x}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $36$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{3} - 36 lim_{x \to 6} x}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $6$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $6$ per $x$ .

$\frac{6^{3} - 36 lim_{x \to 6} x}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $6$ per $x$ .

$\frac{6^{3} - 36 \cdot 6}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.5.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{216 - 36 \cdot 6}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 1.1.2.5.1.2

Moltiplica $- 36$ per $6$ .

$\frac{216 - 216}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Sottrai $216$ da $216$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 6}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $6$ per $x$ .

$\frac{0}{6 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{0}{6 - 6}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $6$ da $6$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 6} \frac{x^{3} - 36 x}{x - 6} = lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 36 x]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 36 x]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 36 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 6} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{3 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{3 x^{2} - 36 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{3 x^{2} - 36}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{3 x^{2} - 36}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{3 x^{2} - 36}{1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Passaggio 1.3.7

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{3 x^{2} - 36}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.8

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{3 x^{2} - 36}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $3 x^{2} - 36$ per $1$ .

$lim_{x \to 6} 3 x^{2} - 36$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $6$ .

$lim_{x \to 6} 3 x^{2} - lim_{x \to 6} 36$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 lim_{x \to 6} x^{2} - lim_{x \to 6} 36$

Passaggio 2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$3 {(lim_{x \to 6} x)}^{2} - lim_{x \to 6} 36$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $36$ che è costante, mentre $x$ tende a $6$ .

$3 {(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 36$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $6$ per $x$ .

$3 \cdot 6^{2} - 1 \cdot 36$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$3 \cdot 36 - 1 \cdot 36$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $3$ per $36$ .

$108 - 1 \cdot 36$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$108 - 36$

Passaggio 4.2

Sottrai $36$ da $108$ .

$72$