Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} - \frac{1}{2}}{x}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per scrivere $\frac{1}{2 + x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x}$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + x}{2 + x}}{x}$

Passaggio 1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(2 + x) \cdot 2$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2 + x}$ per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(2 + x) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + x}{2 + x}}{x}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(2 + x) \cdot 2} - \frac{2 + x}{2 (2 + x)}}{x}$

Passaggio 1.3.3

Riordina i fattori di $(2 + x) \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + x)} - \frac{2 + x}{2 (2 + x)}}{x}$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)}}{x}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $\frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)}$ per $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x) x}$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{(2 + x) x}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 - (2 + x)}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Calcola il limite di $2 - (2 + x)$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - (2 + 0)}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Passaggio 3.1.2.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} 2 + x \cdot lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.3.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.3.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + 0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + 0) \cdot 0}$

Passaggio 3.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.5.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 0}$

Passaggio 3.1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.5.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{(2 + x) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - (2 + x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Passaggio 3.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- (2 + x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (2 + x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [2 + x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [2 + x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Passaggio 3.3.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Passaggio 3.3.4.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Passaggio 3.3.4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Passaggio 3.3.4.5

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Passaggio 3.3.4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Passaggio 3.3.5

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2 + x$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(2 + x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(2 + x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $2 + x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

Passaggio 3.3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \cdot 1}$

Passaggio 3.3.13

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x}$

Passaggio 3.3.14

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + 2 x}$

Passaggio 3.3.15

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 x + 2}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $- 1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Passaggio 4.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

Passaggio 4.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Passaggio 4.5

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + 2}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 2}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{0 + 2}$

Passaggio 6.1.2

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{4}$

Forma decimale:

$- 0.25$