Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - 9 x^{2}}} d x$

Passaggio 1.2

Riscrivi $9 x^{2}$ come ${(3 x)}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (\frac{u}{2})$ .

$\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{u}{2}) + C)$

Passaggio 5

Riscrivi $\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{u}{2}) + C)$ come $\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} u) + C$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} u) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} \cdot 3 x) + C$