Calcolo Esempi

$\frac{1}{2} \cdot (x e^{\frac{- 1}{2} x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot (x e^{- \frac{1}{2} x})]$

Passaggio 1.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.2.1

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot (x e^{- \frac{x}{2}})]$

Passaggio 1.2.2

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}}]$

Passaggio 1.2.3

$\frac{x}{2}$ e $e^{- \frac{x}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}]$

Passaggio 1.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.1

$e^{- \frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2.2

$x$ e $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1)$

Passaggio 4.6

Moltiplica $e^{- \frac{x}{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{1}{2} e^{- \frac{x}{2}}$

Passaggio 5.2.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{- \frac{x}{2}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$