Calcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{10} i (i^{2} + 1)$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

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Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$i \cdot i^{2} + i \cdot 1$

Passaggio 1.2

Moltiplica $i$ per $i^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica $i$ per $i^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$i^{1} i^{2} + i \cdot 1$

Passaggio 1.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$i^{1 + 2} + i \cdot 1$

Passaggio 1.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$i^{3} + i \cdot 1$

Passaggio 1.3

Moltiplica $i$ per $1$ .

$i^{3} + i$

Passaggio 1.4

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i = \sum_{i = 1}^{10} i^{3} + \sum_{i = 1}^{10} i$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{i = 1}^{10} i^{3}$ .

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Passaggio 3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $3$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori nella formula.

$\frac{10^{2} {(10 + 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Somma $10$ e $1$ .

$\frac{10^{2} \cdot 11^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.1.2

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$\frac{100 \cdot 11^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.1.3

Eleva $11$ alla potenza di $2$ .

$\frac{100 \cdot 121}{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $100$ per $121$ .

$\frac{12100}{4}$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi $12100$ per $4$ .

$3025$

Passaggio 4

Calcola $\sum_{i = 1}^{10} i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori nella formula.

$\frac{10 (10 + 1)}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune di $10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $2$ da $10 (10 + 1)$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2}$

Passaggio 4.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 (1)}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 (10 + 1)}{1}$

Passaggio 4.3.1.2.4

Dividi $5 (10 + 1)$ per $1$ .

$5 (10 + 1)$

Passaggio 4.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Somma $10$ e $1$ .

$5 \cdot 11$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $5$ per $11$ .

$55$

Passaggio 5

Somma i risultati delle sommatorie.

$3025 + 55$

Passaggio 6

Somma $3025$ e $55$ .

$3080$