Calcolo Esempi

$\int \frac{\ln ({(x)}^{6})}{x} d x$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{\ln (x^{6})}{x}$ come $\frac{6 \ln (x)}{x}$ .

$\int \frac{6 \ln (x)}{x} d x$

Passaggio 2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Passaggio 3

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$6 \int u d u$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $6 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ come $6 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$6 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

$6$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{2} u^{2} + C$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} u^{2} + C$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{2} + C$

Passaggio 5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{2} + C$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{1} u^{2} + C$

Passaggio 5.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$3 u^{2} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$3 \ln^{2} (x) + C$