Calcolo Esempi

$\int \frac{12}{\sqrt{x}} + 12 \sqrt{x} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{12}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Passaggio 2

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$12 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Passaggio 3.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$12 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Passaggio 3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Passaggio 3.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$12 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Passaggio 3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$12 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 12 \sqrt{x} d x$

Passaggio 5

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int \sqrt{x} d x$

Passaggio 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 8.2.2

$12$ e $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{12 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{24 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 8.2.4

Scomponi $3$ da $24 x^{\frac{3}{2}}$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Passaggio 8.2.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.2.5.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} + C$

Passaggio 8.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

Passaggio 8.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{1} + C$

Passaggio 8.2.5.4

Dividi $8 x^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + 8 x^{\frac{3}{2}} + C$