Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 5 \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $25$ da $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $25$ da $- 25$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $25$ da $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $25 \tan^{2} (t)$ come ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $5 \tan (t)$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $5 \tan (t)$ da $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \sec (t) d t$

Passaggio 3

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x}{5})) |) + C$

Passaggio 5

Riordina i termini.

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{5} x)) + \tan (arcsec (\frac{1}{5} x)) |) + C$