Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sqrt{8 x}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 8 x$ . Allora $d u = 8 d x$ , quindi $\frac{1}{8} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 8 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{8} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $8$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ come $\frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

$\frac{1}{8}$ e $2$ .

$\frac{2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

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Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 6.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x$ .

$\frac{1}{4} {(8 x)}^{\frac{1}{2}} + C$